Економічний сенс поняття похідної
1. Граничні величини
Якщо запитати економіста "Що таке похідна?", То він відповість: «маржиналізм». Слово «маржиналізм» охоплює цілий комплекс понять в сучасній економічній науці. 

У ХIХ ст. в галузі економічної теорії відбулася подія, яка згодом призвело до справжнього перевороту в методах економічної поведінки людей або фірм, змінилохарактер науково-економічного мислення. Класична наука звичайно мала справу з середніми величинами: середня ціна, середня продуктивність праці і т.д. Але поступово склався інший підхід до аналізу економічних процесів і явищ. У другій половині ХІХ ст. була сформульована теорія маржиналізму. Класиками цієї теорії стали економісти австрійської школи К. Менгер (1840-1921), Ф. фон Візер (1851-1926), Є. фон Бем-Баверк (1851-1914), а також англійський економіст У.С. Джевонс (1835-1882).
"Marginal" у перекладі з англійської мови означає "що знаходиться на самому краю", "граничний", "граничний". До граничним величинам в економіці відносяться:граничні витрати, граничний дохід, гранична корисність, гранична продуктивність, гранична схильність до споживання і т.д. Поняття граничних величин дозволило створити абсолютно новий інструмент дослідження і опису економічних явищ, за допомогою якого стало можливо вирішувати наукові проблеми, раніше не вирішені або вирішені незадовільно. Всі ці величини найтіснішим чином пов'язані з поняттям похідної. Граничні величини характеризують не стан (як сумарна чи середня величини), а процес, зміна економічного об'єкта. Отже, похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об'єкта (процесу) з плином часу або щодо іншого досліджуваного фактора.
Звичайно, економіка не завжди дозволяє використовувати граничні величини в силу неподільності багатьох економічних розрахунків, а також переривчастості (дискретності) економічних показників в часі (наприклад, річних, квартальних, місячних і т.д.). У той же час у багатьох випадках можна ефективно використовувати граничні величини.
Розглянемо ситуацію: нехай q - кількість виробленої продукції, ТC (q) - відповідні даному випуску сукупні витрати (total costs), тоді D q - приріст продукції, а D ТС- приріст витрат виробництва.
Граничні витрати МС (marginal costs) виражають додаткові витрати на виробництво кожної додаткової одиниці продукції. Іншими словами,

де  Використовуючи рівність  отримаємо

Отже, граничні витрати є не що інше, як перша похідна від сукупних витрат, якщо останні представлені як функція від випускається кількості продукції.
Аналогічним чином визначаються і багато інші економічні величини, що мають граничний характер.
Гранична виручка MR (marginal revenue) - це додатковий дохід, отриманий при переході від виробництва n-ної до (n +1)-ої одиниці продукту. Вона являє собою першу похідну від виручки:

 .
Для господарюючого суб'єкта, який діє в умовах досконалої конкуренції: TR = P * Q, де TR - виручка (total revenue); P - ціна (price). Таким чином  , Þ MR = P. Це рівність вірно для ринку досконалої конкуренції.
Будь-який індивід використовує свій дохід Y після сплати податків на споживання C і заощадження S. Ясно, що особи з низьким доходом повністю використовують його на споживання, а на заощадження коштів не залишається. Із зростанням доходу суб'єкт не тільки більше споживає, але і більше зберігає. Яквстановлено економічною наукою, споживання і заощадження залежать від розміру доходу:
Y = C (Y) + S (Y).
Використання похідної дозволяє визначити таку категорію, як граничну схильність до споживання MPC (marginal property to consume), що показує частку приросту особистого споживання у прирості доходу:
 .
У міру збільшення доходів MPC зменшується. Частку приросту заощаджень у приросту доходу показує гранична схильність до заощадження MPS (marginal propensity to save):


Зі збільшенням доходів MPS збільшується.
Оскільки обмеженість ресурсів принципово не усунена, то вирішальне значення набуває віддача від факторів виробництва. Тут також застосовується похідна, як інструмент дослідження. Нехай застосовуваний капітал постійний, а витрати збільшуються. Можна ввести в економічний аналіз наступну категорію -граничний продукт праці MP _L (marginal product of labor) - це додатковий продукт, отриманий у результаті додаткових вкладень праці при незмінній величині капіталу:
 .
Якщо вкладення здійснюються досить малими порціями, то
 ,
так як dY - результат, dL - витрати, то MP _L - гранична продуктивність праці.
Аналогічно, MP _K (marginal product of capital) - граничний продукт капіталу - додатковий продукт, отриманий у результаті додаткових вкладень капіталу Kпри незмінній величині праці:
 .

Якщо вкладення здійснюються малими порціями, то
 .
MP _k характеризує граничну продуктивність капіталу.
Категорія граничної корисності MU (marginal utility) висловлює додаткову корисність від кожної додаткової спожитої одиниці блага:

При нескінченно малих змінах гранична корисність є похідна від сукупної корисності, яка представлена ​​як функція від споживаної кількості продукту:

2. Еластичність попиту і пропозиції

Для дослідження економічних процесів часто використовується поняття еластичності функції.
Поняття еластичності було введено Аланом Маршаллом у зв'язку з аналізом функції попиту. По суті, це поняття є суто математичним.
Еластичністю функції Е _xy (x ₀₎ називається границя відношення відносного приросту функції y до відносного приросту змінної x при D x ® 0:

 .
Коефіцієнт еластичності y по х показує наближено, на скільки відсотків зміниться функція y = f (x), при зміні незалежної змінної x на 1%.
Дуже широко застосовується поняття еластичності в економічному аналізі.
В економіці існує кілька видів еластичності.
- Еластичність попиту за ціною (пряма)

показує відносну зміну (виражене у відсотках) величини попиту на будь-яке благо при зміні ціни цього блага на один відсоток і характеризує чутливість споживачів до зміни цін на продукцію.
Якщо  = 0, то попит на даний товар називається абсолютно нееластичним. Поведінка покупця: ціна знижується - кількість товару, що купується не змінюється; ціна зростає - кількість товару, що купується також не змінюється. До подібних товарів відносяться інсулін, товари Гіффена (товари першої необхідності) і т.д.
Якщо  0, то попит на даний товар називається нееластичним або щодо нееластичним. Поведінка покупця: ціна знижується - темп зростання попиту нижче темпу зниження ціни; ціна зростає - темп зниження попиту нижче темпу зростання ціни. 

Якщо  = 1, то кажуть, що товар має одиничну еластичність. Поведінка покупця: ціна знижується - темп зростання попиту дорівнює темпу зниження ціни; ціна зростає - темп зниження попиту дорівнює темпу зростання ціни.
Якщо  > 1, то попит на даний товар називається еластичним або відносно еластичним. Поведінка покупця: ціна знижується - темп зростання попиту вище темпу зниження ціни; ціна зростає - темп зниження попиту вище темпу росту ціни.
Якщо  , То попит на даний товар називається абсолютно еластичним. Поведінка покупця: ціна знижується - обсяг покупок необмежено зростає; ціна зростає - обсяг покупок падає майже до нуля.
- Еластичність попиту за доходом

характеризує відносну зміну (у відсотках) величини попиту на будь-яке благо при зміні доходу споживача цього блага на один відсоток. Позитивна еластичність попиту за доходом характеризує якісні (суперіорние) товари, негативна - неякісні (інферіорние) товари.
Так, високий позитивний коефіцієнт еластичності попиту по доходу у галузі вказує, що її внесок в економічне зростання більше, ніж частка в структурі економіки, і вона має шанси на розширення і процвітання в майбутньому. Навпаки, якщо коефіцієнт еластичності попиту на продукцію галузі має невелике позитивне чи негативне значення, то її може очікувати застій і перспектива скорочення виробництва.
- Цінова еластичність ресурсів


характеризує відносну зміну (у відсотках) величини попиту на який-небудь ресурс (наприклад, праця) при зміні ціни цього ресурсу (відповідно, заробітної плати) на один відсоток. 

3. Додаток похідної в економічній теорії
Проаналізувавши економічний зміст похідної, неважко помітити, що багато законів теорії виробництва та споживання, попиту і пропозиції виявляються прямими наслідками математичних теорем. Для прикладу розглянемо економічну інтерпретацію теореми Ферма.
Нехай q - випуск продукції (у натуральних одиницях); TR (q) - виручка від продажів; TC (q) - витрати виробництва, пов'язані з випуском q одиниць продукції. Тоді прибуток 

Припустимо, що виконуються наступні умови:
1) Функції TR (q), TC (q) визначені на полуінтервале  і диференційовні при q> 0.
2) Максимум прибутку досягається в деякій точці q ^*  0.
У випадку, коли максимум прибутку позитивний  , Умова q ^*  0 природним чином виконується, оскільки  (Немає випуску - немає виручки, немає виручки - немає прибутку).
Отже, умови 1), 2) виконані. Тоді функція  диференційовна і має на інтервалі  максимум в точці q ^*  0. По теоремі Ферма,  . Так як  , То в точці q = q ^* отримуємо рівність
TR '(q ^*) = TC' (q ^*) або MR = MC.
В економічній теорії це рівність ілюструє один з базових законів теорії виробництва, згідно з яким фірма, що максимізує свій прибуток, встановлює обсяг виробництва таким чином, щоб гранична виручка дорівнювала граничним витратам.
У випадку, коли обсяг виробництва q не впливає на ціну продукції p, маємо TR (q) = p * q, TR '(q) = p. Рівність TR' (q ^*) = C '(q ^*) приймає вигляд p = TC '(q ^*). 

4. Використання похідної при вирішенні завдань з економічної теорії
Завдання № 1: Функція попиту має вигляд Q _D = 100 - 20p, постійні витрати TFC (total fixed costs) складають 50 грошових одиниць, а змінні витрати TVC (total variable costs) на виробництво одиниці продукції - 2 грошові одиниці. Знайти об'єм випуску, що максимізує прибуток монополіста.
Рішення: Прибуток є виручка мінус витрати:
П = TR - TC,
де TR = p * Q; TC = TFC + TVC.
Знайдемо ціну одиниці продукції:
20p = 100 - Q  p = 5 - Q/20.
Тоді
П = (5 - Q/20) Q - (50 + 2Q) = - Q ² + 60Q - 1000 ® max
Знайдемо похідну: П '(Q) =-2Q +60.
Прирівняємо похідну до нуля:-2Q +60 = 0  Q = 30.
При переході через точку Q = 30 функція П (Q) змінює свій знак з плюcа на мінус, отже, ця точка є точкою максимуму, і в ній функція прибутку досягає свого максимального значення. Таким чином, обсяг випуску, що максимізує прибуток, дорівнює 30 одиницям продукції. 

Завдання № 2: Обсяг попиту на продукцію підприємства виражається формулою: Q _D = 200 - 4p, а обсяг пропозиції - Q _S = 6p - 100. Величина змінних витрат на одиницю продукції TVC = 25. Чому повинна бути рівна ціна на одиницю продукції p, щоб прибуток П була максимальною?
Рішення: У точці споживчого рівноваги Q _S = Q _D, тобто
6p ₀ - 100 = 200 - 4p _0,
звідки p ₀ = 30 (ден.ед.) - рівноважна ціна, Þ Q ₀ = 80 (од.) - рівноважний обсяг продукції.
Зобразимо графічно криві попиту та пропозиції, а також точку споживчої рівноваги, що знаходиться на їх перетині (див. рис. 2).
Розглянемо три можливих варіанти:
1) p> p _0, Þ Q = Q _D, тобто П = Q _D p - Q _D TVC = Q _D (p - TVC),
підставимо значення та отримаємо:
П = (200 - 4p) * (p - 25) =-4p ² + 300p - 5000.
2) p = p _0, Þ Q = Q _D = Q _S, Þ Q _{продажу} = Q ₀ = 80 (од.), Þ
П ₂ = 80 * (30 - 25) = 400 (ден. од.).
3) p <p _0: Þ Q = Q _S, тобто П = Q _S p - Q _S TVC = Q _S (p - TVC),
підставимо значення:
П = (6p - 100) (p - 25) = 6p ² - 250p + 2500.
Далі випадки (1) і (3) можна вирішувати аналітично, підставляючи різні значення ціни з інтервалу її значень або як-небудь інакше, але набагато простішевиявити екстремуми прибутку через похідну:
1) П = - 4p ² + 300p - 5000
П '= - 8p + 300;
- 8p + 300 = 0 Þ p = 75 / 2 = 37,5 (ден. од.).
Значить, Q = Q _D = 200 - 4 * 37,5 = 200 - 150 = 50 (од.), а 
П ₁ = - 4p ² + 300p - 5000 = - 4 * (37,5) ² +300 * 37,5 - 5000 = 625 (ден. од.).
2) У другому випадку прибуток була вже знайдена: П ₂ = 400 (ден. од.).
3) П = 6p ² - 250p + 2500
П '= 12p - 250;
12p - 250 = 0 Þ p = 125 / 6 = 20 ⁵ / ₆ (ден. од.).
Значить, Q = Q _S = 6 * 20 ⁵ / ₆ - 100 = 125 - 100 = 25 (од.), a
П ₃ = 6p ² - 250p + 2500 = 6 * (20 ⁵ / ₆₎ ² - 250 * 20 ⁵ / ₆ +2500 = - 104 ¹ / ₆ (Ден. од.).
Можна зробити висновок, що прибуток максимальна в першому випадку, отже, ціна одиниці продукції повинна дорівнювати 37,5 грошовим одиницям.
Завдання № 3: Яка максимальна виручка монополіста, якщо попит аж до перетину з осями описується лінійною функцією Q = b - ap, де p - ціна товару, що випускається монополістом; a і b - коефіцієнти функції попиту?
Рішення: Виручка TR = Qp = p (b - ap) досягне максимуму при рівності нулю похідної за ціною:
TR '= (p (b - ap))' = 0.
TR '= p' * (b - ap) + (b - ap) '* p = b - ap - ap = b - 2ap = 0 Þ p =  Þ
Þ Q = b - ap = b - a  =  .
При цьому максимум виручки складе

Завдання № 4: Знайти оптимальний обсяг виробництва фірми, функція прибутку якої задана таким чином: П (q) = TR (q) - TC (q) = q ² - 8q + 10.
Рішення: Знайдемо похідну даної функції:
П  
Прирівняємо похідну до нуля і знайдемо точку екстремуму:
П  
Чи є обсяг випуску, рівний чотирьом одиницям продукції, оптимальним для фірми? Щоб відповісти на це питання, треба проаналізувати характер зміни знака похідної при переході через точку екстремуму.
При  П  і прибуток зменшується.
При  П  і прибуток зростає.
Як бачимо, при переході через точку екстремуму похідна змінює свій знак з мінуса на плюс. Отже, в точці екстремуму  прибуток приймає мінімальне значення, і таким чином, цей обсяг виробництва не є оптимальним для фірми.
Яким же все-таки буде оптимальний обсяг випуску для даної фірми? Відповідь на це питання залежить від додаткового дослідження виробничих можливостей фірми. Якщо фірма не може виробляти за аналізований період більше 8 одиниць продукції (П (q = 8) = П (q = 0) = 10), то оптимальним рішенням для фірми буде взагалі нічого не виробляти, а отримувати дохід від здачі в оренду приміщень і / або обладнання. Якщо ж фірма здатна виробляти за аналізований період більше 8 одиниць продукції, то оптимальним рішенням для фірми буде випуск на межі своїх виробничих можливостей.
Завдання № 5: Знайти об'єм виробництва, при якому фірма, що діє на ринку досконалої конкуренції, буде отримувати максимальний прибуток, якщо p = 15, TC (q) = q ³ + 3q.
Рішення: Прибуток фірми, що діє на ринку досконалої конкуренції, максимізує при рівності граничної виручки і граничних витрат: MR = MC. Оскільки при досконалої конкуренції спостерігається рівність ціни та граничної виручки: P = MR, то можна стверджувати, що фірма максимізує прибуток при P = MC.
Знайдемо граничні витрати: MC = TC '= 3q ² + 3.
3q ² + 3 = 15;
3q ² = 12 Þ q = 2.
Отже, ми з'ясували, що при ціні p = 15 фірма запропонує на продаж 2 одиниці продукції.
Завдання № 6: Нехай  - Витрати фірми-монополіста, Q _D (p) = 40 - 2p - функція попиту. Знайти оптимальний для даної монополії обсяг виробництва і відповідну ціну одиниці продукції.
Рішення: Виразимо залежність ціни від кількості виробленої продукції:


Тоді прибуток  буде дорівнює:

У точці q ₀ максимуму прибутку виконується рівність  Звідси оптимальний для монополіста обсяг виробництва дорівнює q ₀ = 10.Відповідна ціна буде:
p ₀ = p (q ₀₎ = 
При цьому граничні витрати  Таким чином, ціна, найбільш вигідна для даної монополії, в півтора рази вище її граничних витрат.
Завдання № 7: Обсяг продукції u цеху протягом робочого дня представляє функцію  де t - час (год). Знайти продуктивність праці через 2 години після початку роботи.
Рішення: За період часу від t ₀ = 2 до (t ₀ + D t) кількість виробленої продукції зміниться від u ₀ = u (t ₀₎ до значення u ₀ + D u = u (t ₀ + D t). Середня продуктивність праці за цей період часу складе D u / D t. Отже, продуктивність праці в момент t ₀ можна визначити, як граничне значення середньої продуктивності праці за період часу від t ₀ до (t ₀ + D t) при D t ® 0, тобто

u '(t) = 
Отже, продуктивність праці в момент часу через 2 години після початку роботи складе 43 одиниці продукції на годину.

Висновок
У результаті проведеного дослідження можна зробити наступні висновки:
1. Похідна є найважливішим інструментом економічного аналізу, що дозволяє поглибити геометричний і математичний зміст економічних понять, а також висловити ряд економічних законів за допомогою математичних формул. 
2. За допомогою похідної можна значно розширити коло розглянутих при вирішенні завдань функцій. 
3. Економічний сенс похідної полягає в наступному: похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного процесу з плином часу або щодо іншого досліджуваного фактора. 
4. Найбільш актуальне використання похідної в граничному аналізі, тобто при дослідженні граничних величин (граничні витрати, гранична виручка, гранична продуктивність праці або інших факторів виробництва і т. д.). 
5. Похідна знаходить широке застосування в економічній теорії. Багато хто, в тому числі базові, закони теорії виробництва та споживання, попиту і пропозиції виявляються прямими наслідками математичних теорем (наприклад, представляє інтерес економічна інтерпретація теореми Ферма, опуклості функції і т. д.). 
6. Знання похідної дозволяє вирішувати численні завдання з економічної теорії.